sq4stevenfern的部落格

陳同學你好，去年暑假我們曾經在意見欄傾談過是否修讀 M1 的問題：

https://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7013081300450

祝你學業進步！

 問題一 
五個人分A, B, C 三組，每組至少有一人，問有多少排列？

人數分組只有兩個情況：
(甲) {3, 1, 1} 和
(乙) {2, 2, 1}

在 (甲) 的情況 3 人組可以是 A, B 或 C，因此要乘 3；
在 (乙) 的情況 1 人組可以是 A, B 或 C，因此要乘 3。

現在，想想如果把五人分配入各組。

在 (甲) 的情況，在五人中先選三人 3 人組，有 ₅C₃ 個情況，然後餘下的兩個人選一人入其中一個 1 人組，即 ₂C₁ 個情況，最後餘下的一人只有 ₁C₁ 個分組法。

因此，(甲) 的分組數是 ( ₅C₃ × ₂C₁ × ₁C₁ ) × 3 。

在 (乙) 的情況，在五人中先選一人 1 人組，有 ₅C₁ 個情況，然後餘下的四個人選二人入其中一個 2 人組，即 ₄C₂ 個情況，最後餘下的二人只有 ₂C₂ 個分組法。

因此，(乙) 的分組數是 ( ₅C₁ × ₄C₂ × ₂C₂ ) × 3 。

所以總結起來，分組數是
　( ₅C₃ × ₂C₁ × ₁C₁ ) × 3 + ( ₅C₁ × ₄C₂ × ₂C₂ ) × 3
= ( ₅C₃ × 2 ) × 3 + ( 5 × ₄C₂ ) × 3
= ( ₅C₃ × 2 +  5 × ₄C₂ ) × 3
= ( ₄C₂ × 5 + ₅C₃ × 2 ) × 3
= ( 6 × 5 + 10 × 2 ) × 3
= ( 30 + 20 ) × 3
= 50 × 3
= 150

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 問題二 
五個人分A, B, C, D 四組，每組至少有一人，問有多少排列？

現在只有一個人數分組倩況：{2, 1, 1, 1}
2 人組可以是 A, B, C 或 D，因此最後要乘 4。

考慮如何把五人分配入各組：
在五人中先選二人 2 人組，有 ₅C₂ 個情況，然後餘下的三個人選一人入其中一個 1 人組，即 ₃C₁ 個情況，再餘下的兩個人選一人入另一個 1 人組，即 ₂C₁ 個情況，最後餘下的一人只有 ₁C₁ 個分組法。

因此，分組數是
　( ₅C₂ × ₃C₁ × ₂C₁ × ₁C₁ ) × 4
= ( ₅C₂ × 3 × 2 × 1 ) × 4
= ( ₅C₂ × 3! ) × 4
= ( 10 × 6 ) × 4
= 60 × 4
= 240

另一想法：
五人分四組（每組至少一人），即必定是 {2, 1, 1, 1} 的人數分組法。
先選五人中的二人為二人組，有 ₅C₂ 個情況，然後，把 {2}, {1}, {1}, {1}, 分配給 A, B, C, D 四組，即有 4! 的情況。
因此，分組數是
　₅C₂ × 4!
= 10 × 24
= 240